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Información detallada de curso

 

Primer semestre 2019
Feb 17, 2020
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1. IDENTIFICACION DEL CURSO

Código y Nombre de la Asignatura: MAT 4220 - VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIERIA
División Académica: División de Ciencias Básicas
Departamento Académico: Dpto. Matematicas y estadístic
Número de créditos:
Intensidad horaria (semanal para nivel pregrado y total para nivel postgrado):
3.000 Horas de Teoría
0.000 Horas de Laboratorio
Niveles: Educación Superior Pregrado
Tipos de Horario: Teoría


La materia trata del álgebra y la geometría de los números complejos, la diferenciación compleja y el cálculo integral complejo; series infinitas, incluyendo las series de Taylor y de Laurent; la teoría de los residuos con aplicaciones a la evaluación de integrales y series, la aplicación conforme y estudio de los mapeos de mayor relevancia técnica. Además se presentarán ejemplos tomados de la Ingeniería.



3. JUSTIFICACIÓN.

La variable compleja es una de las herramientas matemáticas más eficaces, para uso del ingeniero. La afirmación precedente puede sustentarse en los hechos siguientes:

Las partes real e imaginaria de una función analítica son funciones armónicas. En consecuencia, los problemas bidimensionales del potencial, pueden tratarse mediante métodos desarrollados en relación con las funciones analíticas.

Muchas integrales complicadas, reales y complejas, se pueden evaluar mediante la aplicación del teorema del residuo.

La mayoría de las funciones no elementales que aparecen en las matemáticas aplicadas a la ingeniería, son funciones analíticas y considerarlas para valores complejos de la variable independiente, conduce a un conocimiento mucho más profundo y detallado de sus propiedades.

En el estudio de la estabilidad de algunos sistemas se utiliza el principio del argumento.


4. OBJETIVOS.


OBJETIVO GENERAL.

Los participantes en el curso, estarán en capacidad de entender y aplicar los principios fundamentales del análisis complejo.


OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

Comprender y estar en capacidad de aplicar a diversas situaciones la teoría de las funciones analíticas.

Conocer y poder aplicar a problemas específicos las llamadas Funciones Elementales Complejas.

Comprender y estar en capacidad de aplicar la teoría de la integral compleja.

Comprender y saber aplicar a distintos problemas técnicos el teorema de Cauchy Goursat y los resultados clásicos con él relacionados.

Conocer y poder aplicar a problemas específicos la teoría de las sucesiones y series complejas, principalmente las series de Taylor y las de Laurent.

Manejar la teoría de residuos y polos; y aplicar la mencionada teoría al cálculo de integrales y sumatorias.

Manejar y estar en capacidad de aplicar la teoría de la transformación conforme.

Manejar el teorema del mapeo de Riemann y la construcción de mapeos entre dominios dados.

Comprender, manejar y aplicar el teorema del argumento con sus aplicaciones a la teoría de la estabilidad para sistemas.



5. METODOLOGÍA.

Las dos (2) primeras horas de clases se desarrollarán con la exposición magistral del profesor. En la hora restante se abrirá la discusión con el auditorio bien sea un problema que complemente la exposición teórica o un aspecto conceptual relacionado con la mencionada exposición.


6. MEDIOS.

Aula con capacidad suficiente para el número de participantes, tablero preferiblemente largo, marcadores, borrador. No garantizo el uso de Software por carecer de entrenamiento, pero dejo abierta la posibilidad para que un ingeniero ó algún participante me ayude en este aspecto.



7. CONTENIDO.

UNIDAD 1: 15 Horas

7.1.1. Número Complejo.
7.1.2. Propiedades de Campo
7.1.3. Forma polar de un número complejo.
7.1.4. Regiones en el plano complejo.
7.1.5. Funciones Derivables.
7.1.6. Funciones Analíticas y Condiciones de Cauchy Riemann.
7.1.7. Funciones Armónicas.
7.1.8. Funciones Exponencial, Seno, Coseno, Seno Hiperbólico, Coseno Hiperbólico y Logarítmica.
7.1.9. Función Logaritmo y Ramas, Exponentes Complejos.

UNIDAD 2: 15 Horas

7.2.1. Contornos.
7.2.2. Integrales de Contorno.
7.2.3. Primitivas.
7.2.4. Teorema de Cauchy Goursat.
7.2.5. Fórmula Integral de Cauchy.
7.2.6. Derivadas de Funciones analíticas.
7.2.7. Teorema de Morera.
7.2.8. Módulos Máximos y Mínimos.
7.2.9. Teorema de Liouville y el Teorema Fundamental del Álgebra.

UNIDAD 3: 5 Horas

7.3.1. Convergencia de sucesiones y series.
7.3.2. Series de Taylor.
7.3.3. Series de Laurent.
7.3.4. Convergencia absoluta y uniforme de series de potencias.

UNIDAD 4: 10 Horas

7.4.1. Residuos.
7.4.2. Teorema del residuo.
7.4.3. Ceros y polos de orden m.
7.4.4. Integrales que se calculan con el teorema del residuo.
7.4.5. Transformada inversa de Laplace.
7.4.6. Residuos logarítmicos y teorema de Rouché.

UNIDAD 5: 7 Horas.

7.5.1. Transformaciones elementales.
7.5.2. Transformación conforme.
7.5.3. Teorema del Mapeo de Riemann.
7.5.4. Transformación de Schwarz Christoffel.
7.5.5. Teorema del argumento.


8. EVALUACIÓN.

La evaluación se efectuaría contemplando los casos siguientes:

Para los estudiantes de la Maestría en Ingeniería Mecánica, si las hubiera, el 50% de la nota se obtendría efectuando el promedio de las calificaciones obtenidas en tareas asignadas quincenalmente y el 50% restante mediante un examen, en el cual el estudiante deberá resolver diez (10) puntos.

Para los colegas de Ingeniería que asistan el 50% se evaluaría con las tareas quincenales y el otro 50% mediante el desarrollo de una monografía sobre una aplicación, en la cual se utilice la variable compleja como herramienta matemática.

Para los estudiantes de Pregrado el 50% de la evaluación se efectuaría con la nota obtenida en las tareas asignadas quincenalmente y el 50% restante se obtendría con la aplicación de un examen general de cinco (5) puntos de menor grado de dificultad que los propuestos a los estudiantes de postgrado.

No habrá evaluación para aquellos colegas de matemáticas que quieran asistir para participar en la discusión teórica ó práctica.


9. BIBLIOGRAFÍA.

9.1. Churchill Ruel V. y Brown James Ward. VARIABLE COMPLEJA CON APLICACIONES, Mc. Graw Hill, 1992.
9.2. Spiegel Murray R. TEORÍA Y PROBLEMAS DE VARIABLE COMPLEJA. Mc. Graw Hill Schaum 1967.
9.3. Nevanlinna Rolf y Paatero V. Introduction T. COMPLEX ANALYSIS. Addison - Wesley Publishing Company, 1964.
9.4. Cartan Henri, Elementary Theory of Analytic Funtions of One or Several Complex Variables. Addison - Wesley Publishing Company Inc., 1963.
9.5. Lang Serge. Compex Analysis Graduated Texts in Mathematics. Springer, 1999.
9.6. Apostol Tom M. ANÁLISIS MATEMÁTICO. Reverté S.A., 1976.



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Versión: 8.5.4