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Información detallada de curso

 

Primer semestre 2019
Feb 17, 2020
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1. IDENTIFICACION DEL CURSO

Código y Nombre de la Asignatura: MAT 4215 - TEORIA DE CODIGOS
División Académica: División de Ciencias Básicas
Departamento Académico: Dpto. Matematicas y estadístic
Número de créditos:
Intensidad horaria (semanal para nivel pregrado y total para nivel postgrado):
3.000 Horas de Teoría
0.000 Horas de Laboratorio
Niveles: Educación Superior Pregrado
Tipos de Horario: Teoría

En esta asignatura se estudiarán los fundamentos de la teoría de códigos. Ésta es una parte de las matemáticas discretas y en especial de la teoría de la información que ofrece una respuesta al siguiente interrogante: ¿cómo transmitir información de manera eficiente y correcta en presencia de ruido?

Ejemplos particulares de esta situación son:
1. Transmisión de datos desde el espacio exterior a la tierra.
2. Almacenamiento de información en CD's o DVD's
3. Telefonía móvil e internet

La teoría de códigos se ocupa de los pasos dos y cuatro del diagrama anterior, es decir, de la codificación y decodificación de mensajes, junto con el problema de detectar y corregir errores durante el proceso de transmisión y recepción del mensaje. Del problema general, es decir, considerar todo el proceso de diseño de canales y demás se encarga la teoría de la información, iniciada por Claude Shannon en 1948. Dos aspectos centrales de esta teoría son los límites impuestos a la compresión de la información y a la máxima velocidad con que esta puede ser transmitida.

Aunque resulte desconocido para algunos, en nuestra vida diaria convivimos con muchos códigos. Por ejemplo, los códigos de barras en los artículos del supermercado, el ISBN usado en los libros y el código ASCII usado en los computadores. Además, cualquier aparato que transmita o almacene mensajes digitales, sonidos o imágenes involucra por lo menos un código. Como ejemplos podemos considerar los computadores, los teléfonos móviles, las transmisiones satelitales, los CD's y DVD's entre otros.


3. JUSTIFICACIÓN

La teoría de códigos es una parte de las matemáticas discretas con mayor número de aplicaciones tecnológicas propias de la ingeniería e informática moderna. Es así como la teoría de códigos se ha convertido en una poderosa herramienta en el estudio de las aplicaciones del álgebra, sino también para la resolución de problemas en el ámbito del profesional.

La compresión de datos está fuertemente ligada con los códigos correctores de errores. El ser relativamente reciente esta disciplina, trae consigo que aún no forma parte del plan de estudio en la mayoría de las universidades, razón por la cual consideramos su importancia en principio como materia electiva.

La programación y elaboración de algoritmos puede constituirse en un interesante espacio para los ejercicios de tal manera que ponemos en práctica casi de manera simultánea los conceptos introducidos.

La teoría de códigos suministra un atractivo campo de aplicaciones del álgebra por fuera de las matemáticas, por ejemplo en la informática (el manejo seguro de información, la criptografía), en la ingeniería electrónica (Información y codificación), en la Biología (secuencias de ADN y código genético), además en los discos compactos, la información satelital o en el tráfico de información en Internet.

Destacamos algunas de las aplicaciones más famosas de la teoría de códigos:
En 1965 la NASA utilizo la sonda Mariner 4 para tomar las primeras fotografías de otro planeta. Esta tomo 22 fotografías completas en blanco y negro de Marte.
Entre 1969 y 1972 las sondas Mariner 6, 7 y 9 enviaron fotografías de Marte. En enero de 1972, la sonda Mariner 9 tomó fotografías en blanco y negro del planeta Marte con mejor resolución que las tomadas anteriormente
Entre 1979 y 1981 la NASA utilizó la sonda Voyager 1 para tomar fotos a color de alta resolución de Júpiter y Saturno. Se usaron 4096 tonos distintos de color y los mensajes fueron codificados usando el código de Golay extendido G24.
Entre 1986 y 1989, la sonda Voyager 2 tomó fotos en color de alta calidad de Urano y Neptuno usando códigos de Reed-Solomon. Esta sonda transmitía 115.200 bits por segundo.


4. COMPETENCIA A DESARROLLAR

Competencia Básica Institucional:
Capacidad de desarrollar procesos con criterio científico-técnico y de responsabilidad social, para aplicar los recursos de la tecnología en la planificación, diseño, construcción y control de obras, con el propósito de coadyuvar al impulso del progreso, desarrollo y/o transformación técnico-económico de la región y del país.

Competencia Profesional:
Capacidad de obtener los fundamentos de las matemáticas para aplicarlos posteriormente en ciencias e ingenierías. Programa (Matemáticas e ingenierías).


5. OBJETIVO GENERAL

Desarrollar en el estudiante destrezas básicas y complejas de pensamiento crítico y reflexivo para modelar matemáticamente, usando las herramientas de la teoría de grupos y del álgebra lineal, situaciones problemáticas derivadas de la teoría de la información.


6. RESULTADOS DE APRENDIZAJE

Al finalizar el curso, los estudiantes deben estar en capacidad de:

Conocimientos (saber conocer)
Comprender y modelar situaciones problémicas típicas de la teoría de la información, la ciencia de la computación, desarrollando soluciones mediante la teoría de códigos y comunicándolas de manera efectiva.
Identifica los problemas centrales de la detección y corrección de errores en la transmisión de mensajes digitales.
Demuestra teoremas formales de la teoría de grupos y los campos finitos
Reconoce las diferentes técnicas de la codificación para detectar y corregir errores

Habilidades (saber hacer)
Aplicar los conocimientos operativos necesarios para la clasificación de grupos finitos con órdenes pequeños.
Aplica conceptos de la teoría de códigos en la elaboración de algoritmos en lenguaje C, C++ o Java Aplica correctamente el criterio para establecer la equivalencia de códigos.
Aplica correctamente los teoremas de Singleton, Hamming y de Euler.

Actitudes (saber ser)
Fomentar la responsabilidad, ética y tolerancia en el estudiante, a través de la asignación de trabajos individuales y de grupo
Trabaja adecuadamente de manera individual y en grupos


7. CONTENIDO

Introducción a los códigos correctores de errores
Códigos binarios, códigos binarios de repetición, ejemplos
Distancia de Hamming, distancia mínima
Probabilidad de error en la transmisión.

Códigos detectores y correctores de error
El problema principal de la teoría de códigos
Códigos equivalentes
Suma, intersección y peso de un Codeword
Códigos perfectos
Cuerpos finitos y espacios vectoriales sobre GF (p)
Definición de cuerpo, propiedades y ejemplos, Espacios vectoriales sobre GF (p).
Congruencia módulo p y campo de Galois.
Los códigos ISBN-10, ISBN-13 y de barras
Introducción a los códigos lineales
Códigos lineales sobre el cuerpo GF (p), propiedades
Matriz generadora de un código lineal
Equivalencia de códigos lineales
Codificación y decodificación con un código lineal
ML- decodificación, decodificación del síndrome
Probabilidad de corrección y detección de error
Probabilidad de detección y corrección de error
Rata de error
Dualidad y códigos de Hamming
El código dual y sus propiedades
Matriz de control de paridad.
Decodificación incompleta
Decodificación con un código de Hamming binario
Códigos de Hamming extendidos
Códigos cíclicos Definiciones básicas, matriz generadora
Algebra de polinomios e ideales
Decodificación y codificación con códigos cíclicos
El CD


8. OPCIONES METODOLÓGICAS - ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Clases magistrales
El profesor presentará los aspectos fundamentales de la asignatura, y mediante ejemplos y ejercicios aclaratorios, despejará las dudas que se presenten

Aprendizaje basado en problemas
El profesor asignará y supervisará problemas y ejercicios adecuados para que los estudiantes al desarrollarlos, ya sea de manera individual o en grupo, adquieran capacidad de trabajo , estrategias de solución de problemas, así como hábitos y técnicas de estudio propias de las disciplinas matemáticas

Controles de lectura
Los estudiantes deben revisar previamente el tema de cada sesión, lo cual le permitirá la participación y seguimiento eficiente de la clase

Controles de lectura
Se asignarán lecturas complementarias, revisiones bibliográficas, ejercicios y problemas para su estudio fuera de clase que estimulen el trabajo independiente


9. EVALUACIÓN

Primer parcial: 20%
Segundo parcial: 25%
Promedio de quices: 30%
Examen final: 25%


10. BIBLIOGRAFÍA

Wolfgang Willems. Codierungstheorie. Primera edición. Walther de Gruyter, 1999. 250 páginas
Steven Roman. Coding and information Theory (Graduate Texts in Mathematics). Primera edición. Berlín. Springer, 1992. 486 páginas
J. H. Van Lint. Coding Theory (Graduate Texts in Mathematics). Tercera edición. Berlín. Springer, 1999. 223 página

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Versión: 8.5.4