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Información detallada de curso

 

Primer semestre 2019
Feb 17, 2020
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1. IDENTIFICACION DEL CURSO

Código y Nombre de la Asignatura: MAT 4210 - CALCULO VARIACIONAL
División Académica: División de Ciencias Básicas
Departamento Académico: Dpto. Matematicas y estadístic
Número de créditos:
Intensidad horaria (semanal para nivel pregrado y total para nivel postgrado):
3.000 Horas de Teoría
0.000 Horas de Laboratorio
Niveles: Educación Superior Pregrado
Tipos de Horario: Teoría

En el curso se estudian las nociones básicas del cálculo de variaciones ó cálculo variacional, haciendo énfasis en la Ecuación de Euler, las propiedades de los extremos de funcionales, condiciones naturales de frontera, la primera variación y problemas isoperimétricos. Se presentan además algunas aplicaciones a problemas originados en la mecánica de medios continuos tal como el problema del equilibrio de una membrana con borde fijo, el equilibrio de una membrana libre y el equilibrio de una placa de Von Kármán, por ejemplo.


3. JUSTIFICACIÓN

El Cálculo Variacional, también llamado Cálculo de Variaciones debe hacer parte de las herramientas matemáticas de todo ingeniero pues el abordaje de problemas prácticos provenientes de la Ingeniería y de la Física Matemática requiere conocimientos básicos de esta rama de las matemáticas, así como su relación con el Análisis Funcional. Además, sobre el Cálculo de Variaciones está cimentado el método de Elementos Finitos, el cual es ampliamente aplicado por los ingenieros. También puede considerarse como la primera parte de la teoría de control óptimo.

4. OBJETIVOS. Los objetivos se redactan de conformidad con los lineamientos y competencias siguientes:

Formación Básica. Consta de las competencias siguientes:
a) Básicas de Pensamiento
b) Autodirección

Formación para la Comunicación.Consta de las competencias siguientes:
a) Interacción
b) Eficacia Comunicativa

Formación para la Investigación. Consta de la competencia siguiente:
a) Competencia investigativa.

Formación en Contexto.Consta de las competencias siguientes:
a) Razonamiento Estratégico
b) Transferibilidad
c) Capacidades genéricas para el trabajo.

Formación para la toma de decisiones. Consta de las siguiente competencia:
a) Toma de decisiones.

Formación para la Conectividad.Consta de las siguientes competencias:
a) Adaptabilidad tecnológica
b) Interactividad


4.1 Objetivos generales

- Estudiar los fundamentos teóricos del Cálculo de Variaciones.
- Manejar los métodos de minimización de funcionales.
- Estudiar aplicaciones del Cálculo de Variaciones a problemas que provienen de la Ingeniería y la Física Matemática.
- Desarrollar en los estudiantes destrezas para el análisis crítico de una situación problemática, teniendo en cuenta el siguiente esquema: análisis de un fenómeno, planteamiento de un funcional como modelo matemático, minimización del funcional (si esto fuera posible) y análisis del resultado.

4.2 Objetivos específicos

- Analizar algunos ejemplos específicos de funcionales.
- Usar cálculo para minimizar un funcional simple.
- Determinar las Ecuaciones de Euler correspondientes a distintos problemas.
- Aplicar el método de Ritz para minimizar funcionales.
- Calcular la primera variación y la derivada variacional de un funcional.
- Determinar las ecuaciones de Euler-Lagrange para distintos funcionales de energía correspondientes a sendos problemas.
- Aplicar los principios del Cálculo de Variaciones a algunos problemas concretos de la mecánica de medios continuos.


5. METODOLOGIA

- Exposición de los temas por parte del profesor, estimulando la participación del estudiante por medio de preguntas y problemas modelos.
- Programación de clases prácticas que impliquen discusión y resolución de preguntas y problemas modelos.
- Asignación de lecturas complementarias y problemas para su estudio o resolución como trabajo fuera de clase.
- Se asignará material complementario (en español o inglés) a través del catálogo WEB de la asignatura y eventualmente, a criterio del profesor, se podrán desarrollar temas en el Laboratorio de Matemáticas.


6. MEDIOS

En el curso se utilizaran:
- Tablero, tiza, marcadores, texto guía y calculadora científica.
- Periódicamente fotocopias con problemas resueltos como ilustración.
- Ocasionalmente los recursos audiovisuales con que cuenta la universidad.


7. PREREQUISITOS POR TOPICOS

1 Cálculo diferencial e integral en una y varias variables, ecuaciones diferenciales.
2 Física mecánica.


8. CONTENIDO

TOPICO
1 MODULO I. CÁLCULO DE VARIACIONES BÁSICO
1.1 Ecuaciones de Euler para problemas simples.
1.2 Propiedades de los extremales de funcionales simples.
1.3 Método de Ritz.
1.4 Condiciones naturales de frontera.

2 MODULO II. FUNCIONALES MÁS GENERALES
2.1 Extenciones a funcionales más generales.
2.2 Ecuaciones de Euler-Lagrange.
2.3 Funcionales dependiendo de funciones de varias variables.
2.4 Un funcional con integrando dependiendo de derivadas parciales de orden superior.
2.5 Primera variación y derivada variacional.

3 MODULO III. PROBLEMAS ISOPERIMÉTRICOS
3.1 Definición de problemas isoperimétricos y ejemplos.
3.2 Forma general de la primera variación.
3.3 Problemas con frontera móvil.
3.4 Condiciones suficientes para la existencia de mínimos.

4 MODULO IV. APLICACIONES EN MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS.
4.1 Algunos problemas de la mecánica de medios continuos desde el punto de vista del Cálculo de Variaciones; el Principio del Trabajo Virtual.
4.2 Equilibrio de una membrana con bordes fijos.
4.3 Equilibrio de una membrana libre.
4.4 Otros problemas de equilibrio en mecánica lineal.
4.5 Equilibrio de una placa de Von Kármán.

5 Exámenes

9. CONTENIDO POR CATEGORIAS

Categoría
Matemáticas y ciencias básicas (Física)
Ciencias de la Ingeniería
Otras


10. DESARROLLO ESTUDIANTIL

10.1 Problemas adicionales
Grupo de problemas seleccionados de los textos de consulta para su estudio y solución como trabajo fuera de clase.

10.2 Trabajos
Tópicos del contenido del programa que el estudiante debe preparar por fuera de clase y rendir un informe o sustentación a criterio del profesor.

10.3 Tópicos especiales
Temas especiales del Cálculo de Variaciones aplicados a la teoría de control óptimo como trabajo de consulta en la biblioteca.



11. EVALUACIÓN

Evaluación
- Primer parcial 25%, Cuarta semana, Módulo I
- Segundo parcial 25%, Novena semana, Módulo II
- Tercer parcial 25%, Duodécima semana, Módulo III
- Examen final 25%, Según registro, Módulo IV

Los parciales ( primero, segundo, tercero) se harán en una de las clases según el horario de cada profesor, cada uno con duración de una (1) hora.




12. BIBLIOGRAFIA

12.1 Texto guía

LEBEDEV, L.P. and COULD, M. The Calculus of Variations and Functional Analysis With Optimal Control and Applications in Mechanics (Series on Stability, Vibration and Control of Systems, Series A - Vol. 12), World Scientific Publishing, 2003.

12.2 Libro de consulta

MacCLUER, C.R. Calculus of Variations: mechanics, control theory and other applications. Prentice Hall, 2005.

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Versión: 8.5.4