Información detallada de curso |
Primer semestre 2017
Abr 19, 2024 |
|
 |
||
| Código y Nombre de la Asignatura: MAT 8560 - ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES |
|
División Académica:
División de Ciencias Básicas
Departamento Académico: Dpto. Matematicas y estadístic MAT 4160 Calificación mínima de 3.0 Número de créditos: Intensidad horaria (semanal para nivel pregrado y total para nivel postgrado): 3.000 Horas de Teoría 0.000 Horas de Laboratorio Niveles: Educación Superior Pregrado Tipos de Horario: Teoría Ecuaciones diferenciales es el estudio tanto cualitativo como cuantitativo de ecuaciones que expresan la relación entre los valores de una o más funciones desconocidas y algunas de sus derivadas por un lado, y cantidades y funciones conocidas por otro. En esta asignatura se tratan ecuaciones diferenciales (en derivadas) parciales, esto es, ecuaciones en las que las funciones que aparecen son funciones que dependen, en general, de más de una variable. Se estudian ecuaciones lineales y no lineales de primer orden, ecuaciones semilineales de segundo orden , método de separación de variables y series de Fourier, convergencia de series de Fourier, la transformada de Fourier, las ecuaciones de Laplace, del calor y de onda. 3. JUSTIFICACION Las ecuaciones diferenciales parciales son fundamentales para la construcción de modelos que aproximen los fenómenos físicos, biológicos, económicos, etc. Ellas están presente en prácticamente todas las descripciones imaginables del mundo real. Esto justifica su estudio en un curso de pregrado como un primer acercamiento a su teoría y aplicaciones. 4. OBJETIVOS - Desarrollar competencias básicas de pensamiento crítico y sistemático, comunicativas, habilidades genéricas para el trabajo, habilidades para la toma de decisiones, adaptabilidad tecnológica y autodirección, utilizando como pretexto el contenido de la asignatura. - Facilitar el apropiamiento por parte del estudiante de los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales parciales. 5. RESULTADOS DE APRENDIZAJE Al finalizar el curso los estudiantes estarán en capacidad de: - Trabajar individualmente y en grupo, con responsabilidad, ética y tolerancia. - Identificar la estructura de las ecuaciones diferenciales parciales lineales y conocer el principio de superposición de soluciones y cuando aplica dicho principio. - Identificar condiciones iniciales y de contorno en problemas asociados a ecuaciones diferenciales parciales. - Encontrar una expresión para la solución del problema de Cauchy asociado a una ecuación diferencial parcial lineal de primer orden. - Identificar la estructura de ecuaciones diferenciales parciales no lineales de primer orden y conocer los conceptos de propagación de singularidades y de ondas de choque asociados a dichas ecuaciones. - Clasificar ecuaciones diferenciales parciales semilineales de segundo orden. - Escribir la forma canónica de una ecuación diferencial parcial semilineal de segundo orden y hallar sus curvas características. - Conocer la solución general de la ecuación unidimensional de onda, así como expresiones para la solución de los problemas de valores de frontera y valores iniciales asociados a la ecuación n-dimensional de onda. - Aplicar los conceptos relativos a la ecuación de onda para el análisis de las vibraciones en una cuerda infinita y en una cuerda finita. - Aplicar el método de separación de variables para encontrar expresiones para la solución de problemas de valores de frontera y valores iniciales unidimensionales. - Analizar la convergencia de las series de Fourier asociadas a la solución de problemas de valores iniciales y de frontera unidimensionales. - Analizar la solución del problema de Dirichlet asociado a la ecuación de Laplace en un rectángulo y en el disco unitario. - Analizar la solución de la ecuación del calor para una barra infinita y para una barra finita. - Conocer el concepto y propiedades de la transformada de Fourier para funciones sumables (espacio L^1), y en particular en el espacio de las funciones rápidamente decrecientes. 6. CONTENIDO 1. DEFINICIONES BÁSICAS. ( 4 horas) 1.1. Introducción. 1.2. Linealidad y superposición. 1.3. Condiciones iniciales y de contorno. 2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN. (12 horas) 2.1.Ecuaciones lineales: algunos ejemplos básicos. 2.2.El problema de Cauchy. 2.3.Solución general para ecuaciones de primer orden 2.4.Ecuaciones no lineales. 2.5.Propagación de singularidades. 2.6.Ondas de choque. 3. ECUACIONES SEMILINEALES DE SEGUNDO ORDEN (4 horas). 3.1.Clasificación de ecuaciones semilineales de segundo orden. 3.2.Formas canónicas y curvas características. 4. LA ECUACIÓN DE ONDA (4 horas) 4.1.Solución general. 4.2.La cuerda infinita. 4.3.La cuerda finita. 5. SEPARACIÓN DE VARIABLES Y SERIES DE FOURIER (10 horas) 5.1.El método de separación de variables. 5.2.Coeficientes de Fourier. 5.3.Convergencia de las series de Fourier. 6. LA ECUACIÓN DE LAPLACE (4 horas) 6.1.El problema de Dirichlet en un rectángulo. 6.2.El problema de Dirichlet en el disco unitario. 7. LA ECUACIÓN DEL CALOR. (4 horas) 7.1.El problema de transmisión de calor (barra finita) 7.2.El problema de la barra infinita. 8. LA TRANSFORMADA DE FOURIER (6 horas) 8.1.La transformada de Fourier en L1 8.2.El espacio de las funciones rápidamente decrecientes. 8.3.La transformada de Fourier para funciones rápidamene decrecientes. 8.4.La fórmula de inversión. 8.5.Convolución 8.6.Aplicaciones. 7. BIBLIOGRAFÍA Iório, Valeria de Magalhaes. EDP. Um curso de Graduaçao. IMPA (Instituto de Matematica Pura e Aplicada), Rio de Janeiro (2002) Textos de consulta: Folland, G. B. Introduction to Partial Differntial Equations. Princeton University Press, New York (1976) Schleinkofer, G. Introduction to Pseudodifferential Operators. UNALMED, Medellin (1996) |
| Regresar a Anterior | Nueva búsqueda |
|