Información detallada de curso |
Primer semestre 2017
Abr 20, 2024 |
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| Código y Nombre de la Asignatura: MAT 8550 - VARIABLE COMPLEJA |
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División Académica:
División de Ciencias Básicas
Departamento Académico: Dpto. Matematicas y estadístic Número de créditos: Intensidad horaria (semanal para nivel pregrado y total para nivel postgrado): 3.000 Horas de Teoría 0.000 Horas de Laboratorio Niveles: Educación Superior Pregrado Tipos de Horario: Teoría Los objetos de estudio de esta asignatura son las funciones de una variable compleja a valores complejos (funciones complejas de una variable compleja). Se estudian la diferenciación y la integración a lo largo de caminos de tales funciones. Se hace énfasis en los teoremas de Cauchy, las fórmulas integrales de Cauchy, clasificasión de singularidades y el teorema del residuo. 3. JUSTIFICACION. Las funciones complejas y, en general, el análisis complejo son una poderosa herramienta para abordar problemas y aplicaciones no solo de otras ramas de las matemáticas, sino también de las ciencias físicas y la ingeniería. Por lo tanto, es fundamental que los estudiantes de matemáticas e ingeniería conozcan y se apropien de manera rigurosa de los fundamentos del análisis complejo. Este curso introductorio pretende convertirse justamente en una primera aproximación seria a la teoría, resultados básicos y aplicaciones del análisis complejo. 4. CONTENIDO 1. TOPOLOGÍA DE C. 1.1. Definición de la métrica en C y la topología inducida por dicha métrica. 1.2. Conjuntos compactos y conexos en C. 1.3. Sucesiones y series de números complejos. 1.4. Continuidad de funciones complejas de variable compleja. 1.5. Convergencia uniforme. 2. DIFERENCIACIÓN COMPLEJA. 2.1.Derivada compleja. 2.2.Definición de funciones holomorfas. 2.3.Ecuaciones de Cauchy-Riemann 2.4.Propiedades de las funciones holomorfas. 3. INTEGRACIÓN COMPLEJA. 3.1.Integrales de Riemann-Stieltjes. 3.2.Representación en series de potencias de funciones holomorfas (funciones analíticas). 3.3.Ceros de funciones analíticas. 3.4.El índice de una curva cerrada. 3.5.Teoremas de Cauchy y Fórmulas integrales de Cauchy. 3.6.Versión homotópica del teorema de Cauchy y conjuntos simplemente conexos. 3.7.Teorema de Goursat. 4. SINGULARIDADES 4.1.Singularidades aisladas de funciones holomorfas. 4.2.Series de Laurent. 4.3.Clasificación de singularidades. 4.4.Residuos. 4.5.Teorema del residuo. 4.6.Principio del argumento. 5. TEOREMA DEL MÓDULO MÁXIMO. 5.1.Principio del máximo. 5.2.Lema de Schwarz. 5. BIBLIOGRAFÍA Conway, John B. Functions of one complex variable, 2ndEd. Springer-Verlag, New York, 1978. Textos de consulta: Ahlfors, L.V. Complex Analysis, McGraw-Hill Book Co., 1960. Rudin, W. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill Book Co., 1966 |
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