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Información detallada de curso

 

Primer semestre 2017
Mar 29, 2024
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1. IDENTIFICACION DEL CURSO

Código y Nombre de la Asignatura: MAT 4150 - TEORIA DE ANILLOS Y CAMPOS
División Académica: División de Ciencias Básicas
Departamento Académico: Dpto. Matematicas y estadístic
MAT 4140 Calificación mínima de 3.0
Número de créditos:
Intensidad horaria (semanal para nivel pregrado y total para nivel postgrado):
4.000 Horas de Teoría
0.000 Horas de Laboratorio
Niveles: Educación Superior Pregrado
Tipos de Horario: Teoría

En este curso continuamos estudiando estructuras algebraicas básicas. Consideraremos aspectos básicos sobre Teoría de anillos, módulos, cuerpos, anillo de polinomios en una indeterminada, La segunda parte hace referencia a la denominada teoría de Galois. Es decir, estudiaremos extensiones de cuerpos, construcciones con regla y compás, la cerradura algebraica, cuerpos finitos y el teorema fundamental del álgebra.

3. JUSTIFICACIÓN

La importancia de esta asignatura en el programa de Matemáticas radica en los siguientes aspectos:
-La teoría de anillos y cuerpos constituye una parte de los fundamentos del álgebra abstracta.
-Proporciona formación metodológica y científica a los alumnos al ejercitarlos en el razonamiento abstracto y las destrezas Matemáticas fundamentales.
-Proporciona un conocimiento adecuado del lenguaje y de los métodos propios de las Matemáticas necesarios para la comprensión de una buena parte de las teorías que se desarrollan en las distintas materias que conforman las ciencias físicas tales como la física del estado sólido y la mecánica cuántica. Por otro lado, tiene una gran infuencia en los soportes de la teoría moderna de comunicación como códigos y criptografía entre otras.
-Sirve de soporte a otras áreas profesionales de ingeniería electrónica, de sistemas, y en ciencias de la computación en general.

4. OBJETIVO GENERAL:

Desarrollar en el estudiante destrezas básicas de pensamiento abstracto y de comunicación que le permitan clasificar objetos matemáticos a partir de los conceptos de anillos, módulos y cuerpos.

5. RESULTADOS DE APRENDIZAJE:

Al finalizar el curso, los estudiantes deben estar en capacidad de:
Dimensión de la competencia Resultado de aprendizaje

Conocimientos (saber conocer)
Comprender y modelar situaciones problémicas típicas del álgebra abstracta, la ciencia de la computación, desarrollando soluciones mediante la teoría de anillos, módulos o cuerpos y comunicándolas de manera efectiva.
1. Establece condiciones para la isomorfía de dos anillos y clasificación de cuerpos a partir de su característica.
2. Determina las diferencias entre subanillos, ideales y subcuerpos.
3. Extiende los teoremas de isomorfía a anillos y módulos.

Habilidades (saber hacer)
Aplicar los conocimientos operativos necesarios para la clasificación de anillos estableciendo relaciones de contenencia entre estas.
1. Aplica correctamente el criterio para determinar si un anillo es dominio entero, de factorización única, euclidiano o normado.
2. Aplica correctamente los conceptos de elementos primos, elementos irreducibles en un anillo.
3. Aplica correctamente los teoremas Hilbert, Artin, Eisenstein y Steinitz.

Actitudes (saber ser)
Fomentar la responsabilidad, ética y tolerancia en el estudiante, a través de la asignación de trabajos individuales y de grupo (L2, L3. L5)
1. Trabaja adecuadamente de manera individual y en grupos manifestando tolerancia, respeto por razonamientos diferentes.

6. CONTENIDO

CAPITULO I. ANILLOS
Definiciones básicas sobre Anillos, Subanillos, Ideales, Operaciones con ideales, Anillos cocientes, Homomorfismos y teoremas de isomorfía, productos. Ideales primos, ideales maximales. Dominios enteros. Característica de un anillo. Teoría de divisibilidad. Dominios euclidianos. Dominios de ideales principales. Cuerpo cociente de un dominio entero. Anillos de polinomios en una indeterminada. Teorema de Gauss.

CAPITULO II. MODULOS
Módulos finitamente generados sobre dominios de ideales principales.
Módulos, submódulos, módulo cociente. Homomorfismos. Operaciones con submódulos. Módulos finitamente generados. Grupos abelianos finitamente generados. Productos y sumas directas de módulos. Módulos libres. Dimensión de un módulo libre.

CAPITULO III. CUERPOS
Extensiones de cuerpos: Extensiones simples y algebraicas. Polinomio mínimo, base y grado de una extensión. Extensiones trascendentes. Extensiones finitas. El campo de los números algebraicos. Cuerpos algebraicamente cerrados. Construcciones con regla y compás, Cuerpo de descomposición de un conjunto de polinomios. Teorema de Galois. Cuerpos de funciones racionales.
Campo de descomposición de un polinomio. Extensiones normales y separables. Grupos de Galois. Teorema de Galois.

7. ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA:

Opción metodológica Descripción

Clases magistrales
El profesor presentará los aspectos fundamentales de la asignatura, y mediante ejemplos y ejercicios aclaratorios, despejará las dudas que se presenten

Aprendizaje basado en problemas
El profesor asignará y supervisará problemas y ejercicios adecuados para que los estudiantes al desarrollarlos, ya sea de manera individual o en grupo, adquieran capacidad de trabajo, estrategias de solución de problemas, así como hábitos y técnicas de estudio propias de las disciplinas matemáticas.

Controles de lectura
Los estudiantes deben revisar previamente el tema de cada sesión, lo cual le permitirá la participación y seguimiento eficiente de la clase

Controles de lectura
Se asignarán lecturas complementarias, revisiones bibliográficas, ejercicios y problemas para su estudio fuera de clase que estimulen el trabajo independiente.

8. EVALUACIÓN

Evidencia de aprendizaje .
Descripción de la Evidencia de aprendizaje.
Periodo de la valuación Ponderación de la evaluación.
Controle de lectura.
Mediante talleres individuales o en grupo, exámenes cortos o sustentaciones en el tablero, a lo largo del semestre.
A lo largo del semestre 25%

Exámenes
parciales
Se realizarán 2 evaluaciones escritas de ejecución individual utilizando la técnica de desarrollo o test.
Semana 9 y semana 13 25% cada una

Examen final
Se realizará en el lugar y fecha asignado por la Universidad Semana 16 25%

9. BIBLIOGRAFÍA

- Fraleigh, J. A First Course in Abstract Algebra, 2rd. edition, Addison-Wesley, Reading, 1982.
- Herstein, I. N. Algebra Moderna. Editorial Trillas . M éxico. 1976.
-Herstein, I. N. Álgebra Abstracta. Grupo editorial Iberoamérica. 1991.
-Lang, S. Algebra. Graduate Text in Mathematics, Springer Verlag 2002
-Jacobson, N. Lectures in Abstract Algebra I. Freeman, San Francisco, 1974.
- G. Birkhoff - MacLane, S. Algebra Moderna, Vinces-Vives, Barcelona, 1970.
-Van der Waerden, Bl. Algebra I, II, Springer, New York, 1991.
-LIDL, R PILZ, G. Applied abstract Algebra. Springer-Verlag. New York. 1990.
-PINTER, Ch. A book of Abstracta Algebra . Mac Graw Hill. 1990.
-Hungerford, T. Algebra, Graduate Text in Mathematics, Springer Verlag, 1980.
- Artin, Emil. Teoría de Galois, Vinces - Vives, Barcelona, 1970.


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Versión: 8.7.2 [BSC: 8.10]